물리와 수학적 모델링

셔틀콕은 왜 포물선이 아닐까?

공의 포물선 운동과 셔틀콕의 항력 운동 비교 탐구 프로젝트

1. 현상 관찰과 실험 설계

  1. 01공과 셔틀콕 궤적 관찰
  2. 02사거리와 비행 시간 예상
  3. 03v₀, θ, k 조절
  4. 04항력 모델 실행
  5. 05무저항 모델과 비교
  6. 06궤적 차이 설명
실험 방법과 통제 변인

실험 1: 공 (통제군 - 기준 포물선)

  • 조작변인: 발사각 $\theta$ (예: 30°, 45°, 60° 고정)
  • 종속변인: 2D 궤적 $(x(t), y(t))$
  • 통제변인: 작은 공 사용, 일정한 발사 속도, 카메라 위치/각도 고정

실험 2: 셔틀콕 (실험군 - 항력 관찰)

  • 조작변인: 물체 종류 (셔틀콕)
  • 종속변인: 2D 궤적 및 속도 변화
  • 핵심 포인트: 셔틀콕이 포물선 궤적에서 어떻게 벗어나는지, 비대칭성에 주목하여 촬영합니다.
실험 사진 / Tracker 캡처
Tracker 분석 화면이나 실험 사진을 여기에 끌어 놓을 수 있습니다.

2. 수학적 모델링

1차원 종단속도 모델과 논문 요약

Peastrel et al. (1980)은 셔틀콕 수직 낙하 실험에서 속도 제곱에 비례하는 저항($v^2$) 모델이 가장 적합함을 보였습니다.

$$ \frac{dv}{dt} = g - k v^2 $$ 이 식의 해는 종단속도 $v_T = \sqrt{g/k}$를 이용하여 다음과 같이 표현됩니다: $$ v(t) = v_T \tanh\left(\frac{g}{v_T}t\right) $$

우리는 이 아이디어를 2차원 평면 운동으로 확장합니다.

Model A 이상적 포물선 (Vacuum)

공기저항이 없다고 가정합니다.

$$ \vec{F} = m \vec{g} $$

수평: 등속 운동 ($a_x = 0$)

수직: 등가속도 운동 ($a_y = -g$)

→ 결과: $y$는 $x$에 대한 2차 함수

Model B 셔틀콕 항력 모델 (Air Drag)

항력은 속도 반대 방향, 크기는 $v^2$에 비례합니다.

$$ \vec{F}_d = -mkv \vec{v} $$
ax = -k * v * vx
ay = -g - k * v * vy

해석적으로 풀기 어려우므로 4차 Runge–Kutta 방법으로 근사합니다.

3. Tracker 데이터 분석

데이터 형식: Tracker에서 내보낸 CSV 파일에 t, x, y 열이 있어야 합니다.
파일 미선택
  • 공: $x-t$ 그래프가 직선에 가까운가?
  • 셔틀콕: 최고점 이후 수직 낙하에 가까워지는가?
  • 속도: 종단속도 경향성이 보이는가?

4. 2D 항력 모델 변수 실험

4차 Runge–Kutta 방법으로 항력 모델을 계산합니다. 항력 계수 $k$를 바꾸며 실측 궤적에 가까운 값을 찾아봅시다.

결과 예상

변수 선택 이유

초기 조건
10.0
45
물리 계수
0.20

k가 클수록 공기저항이 큽니다.

실행 전입니다.
점선: 무저항 모델 실선: 항력 모델 ($k v^2$)
회차v₀θk예상 사거리계산 사거리비행 시간비교
아직 기록한 실험이 없습니다.

5. 탐구 결론과 확장 주제

심화 탐구 주제 제안

1. 최적 발사 각도

항력이 있을 때 최대 사거리를 만드는 각도는 45°보다 작을까?

2. 바람의 영향

맞바람이나 뒷바람이 불 때 모델을 $\vec{v}-\vec{w}$로 바꾸어 비교합니다.

3. 무차원화 분석

속도를 종단속도로 나눈 $v/v_T$ 그래프로 여러 조건을 비교합니다.