수학 · 물리 모델링

회전하는 사각 물통의 포물선 탐구

자이로스코프 관찰과 수학적 모델링으로 회전 수면의 모양을 분석합니다.

탐구 개요 이론 설명

1단계 · 현상 관찰과 이론적 배경

연구 배경

Monteiro et al. (2019): 직사각형 물통 회전 시 자유수면 단면이 포물선임을 입증.

  • 결과: \( z(r) \propto r^2 \)
  • 응용: 중력가속도 \( g \) 역추정 가능
핵심 원리

유체가 회전할 때 원심력과 중력의 합력이 수면에 수직으로 작용하여 포물면을 형성합니다. 일정 각속도 이상에서 바닥이 드러나는 Dry Patch 현상이 발생합니다.

2단계 · 수학적 모델링

힘의 평형 방정식

$$ \frac{dp}{dr} = \rho \omega^2 r, \quad \frac{dp}{dz} = -\rho g $$

적분 결과 (포물선):

$$ z(r) = \frac{\omega^2}{2g} r^2 + C $$

부피 보존 조건

회전 전후 물의 부피가 일정함을 이용하여 상수 C 결정:

$$ z(r) = H - \frac{\omega^2}{2g} \left(\frac{L^2}{12} - r^2\right) $$

\(H\): 초기높이, \(L\): 폭, \(\omega\): 각속도

3단계 · 임계 각속도 탐구

각속도가 커질 때 수면의 꼭짓점 높이가 어떻게 변하는지 예상하고, 바닥이 드러나는 조건을 찾아봅시다.

  1. 01 · 관찰낮은 각속도의 수면 단면과 3D 모형 관찰
  2. 02 · 예상
  3. 03 · 실행임계값의 80%, 100%, 120% 조건 실행
  4. 04 · 비교꼭짓점 높이와 \(\omega/\omega_c\) 기록
  5. 05 · 설명식의 \(\omega^2\) 항으로 변화 설명
3D 수면 3D 모형
2D 단면 프로파일

4단계 · 심화 탐구