실험 1: 복원 추출 vs. 비복원 추출
주머니에서 공을 뽑을 때, 뽑은 공을 다시 넣는(복원) 경우와 넣지 않는(비복원) 경우의 확률 변화를 비교해 봅시다.
복원 추출 (독립 사건)
뽑은 공을 다시 넣기 때문에, 다음 공을 뽑을 확률은 항상 동일합니다.
비복원 추출 (종속 사건)
뽑은 공을 제거하기 때문에, 다음 공을 뽑을 확률이 계속 변합니다.
실험 2: 동전 던지기와 갬블러의 오류
동전을 던지는 것은 대표적인 독립 시행입니다. 앞면이 연속으로 나왔다고 해서 다음번에 뒷면이 나올 확률이 높아질까요? 직접 확인해 보세요.
다음 결과 예측: 앞면 50%, 뒷면 50%
결과 기록:
탐구 1: 비복원 추출과 모집단의 크기
비복원 추출은 이전의 결과가 다음 결과의 확률에 영향을 주므로 항상 종속입니다. 하지만 모집단의 크기가 매우 크다면 어떨까요? 아래 버튼으로 모집단 크기를 선택하고 확률 변화를 관찰해 봅시다.
다음 시행의 확률
탐구 2: 비례 표본 추출과 독립 시행
모집단과 정확히 같은 비율의 표본을 비복원 추출하면, 남은 모집단의 확률 분포는 어떻게 될까요?
아래 상자에는 동그라미 8개, 세모 12개, 네모 20개 (비율 2:3:5)가 들어있습니다.
현재 상자 상태 ()
각 도형을 뽑을 확률
보너스: 독립 사건 vs. 배반 사건
독립과 배반은 자주 혼동되지만 전혀 다른 개념입니다.
독립 사건 (Independent Events)
두 사건 A, B가 서로의 확률에 영향을 주지 않는 관계입니다. 즉, 한 사건이 일어났다는 사실이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않습니다.
예: 동전을 던져 앞면이 나오는 사건과 주사위를 던져 짝수가 나오는 사건.
배반 사건 (Mutually Exclusive)
두 사건 A, B가 절대 동시에 일어날 수 없는 관계입니다. 교집합이 공집합($\emptyset$)입니다.
예: 주사위 한 개를 던져 1이 나오는 사건과 6이 나오는 사건.
독립과 배반에 대한 참/거짓 명제
명제 1: 두 사건 A, B가 배반 사건이면, 두 사건은 서로 독립이다.
거짓
설명: (단, $P(A) \neq 0, P(B) \neq 0$)
두 사건 A, B가 배반이면 $P(A \cap B) = 0$ 입니다.
만약 두 사건이 독립이라면 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ 를 만족해야 합니다.
하지만 $P(A) > 0, P(B) > 0$ 이므로 $P(A) \times P(B) > 0$ 입니다.
따라서 $0 \neq P(A) \times P(B)$ 이므로, 두 사건은 독립이 아니라 종속입니다.
명제 2: 두 사건 A, B가 서로 독립이면, 두 사건은 배반 사건이다.
거짓
설명: (단, $P(A) \neq 0, P(B) \neq 0$)
두 사건이 독립이면 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ 입니다.
$P(A)>0, P(B)>0$ 이므로, $P(A \cap B) > 0$ 입니다.
배반 사건의 정의는 $P(A \cap B) = 0$ 이므로, 두 사건은 배반 사건이 될 수 없습니다.
명제 3: 두 사건 A, B가 서로 독립이면, A와 B의 여사건($B^c$)도 서로 독립이다.
참
증명: A와 $B^c$가 독립임을 보이려면 $P(A \cap B^c) = P(A) \times P(B^c)$ 임을 보이면 됩니다.
$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$ 입니다.
A와 B가 독립이므로 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ 입니다.
따라서, $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1-P(B)) = P(A)P(B^c)$ 입니다.
그러므로 A와 $B^c$는 서로 독립입니다. (마찬가지로 $A^c$와 B, $A^c$와 $B^c$도 서로 독립입니다.)